Для чего используются скобки. Скобки в математике, их виды и предназначение

Особое место среди всех знаков препинания в русском языке принадлежит скобкам.

Во-первых они, как и кавычки, только парный пунктуационный знак. Исключением является выделение разделов или пунктов текста в виде цифры с одной скобкой.

Во-вторых, из-за того что скобки выполняют в предложении функцию вставки и выделения, они дают возможность добавить к основной мысли, содержащейся в предложении, новую, дополнительную информацию.

Условно говоря, получается как бы два отдельных предложения в одном. В результате, благодаря скобкам, высказывание

Получается компактным и емким по форме, но многозначным и информативным по сути.

По форме написания скобки бывают разные: круглые, прямые, фигурные, квадратные, ломаные (их еще называют угловыми). В письменной речи традиционно используют круглые скобки. Рассмотрим случаи употребления скобок на примере бессмертного творения А.С.Пушкина – романа в стихах «Евгений Онегин».

Во-первых, скобки нужны для выделения слов или предложений, которые синтаксически не связаны с основным предложением, но являются пояснением к нему или к его части:

Хоть он людей конечно знал

И вообще их презирал, –

(правил нет без исключений)

Иных он очень отличал

И вчуже чувство уважал.

В-вторых, скобки нужны для выделения слов или предложений, которые синтаксически не связаны с основным предложением, но несут добавочное замечание, вопрос или восклицание:

Ей шепчут: “Дуня, примечай!”

Потом приносят и гитару:

И запищит она (бог мой!).

Приди в чертог ко мне златой!..

В-третьих, скобки нужны для выделения слов или предложений, синтаксически связанных с основным предложением, но по-прежнему несущих добавочное, второстепенное замечание:

Онегин был, по мненью многих

(Судей решительных и строгих)

Ученый малый, но педант…

В-четвертых, скобки нужны для указания отношения автора к своему высказыванию:

Быть может (лестная надежда!),

Укажет будущий невежда

На мой прославленный портрет

И молвит: то-то был поэт!

В-пятых, скобки используются при написании пьес для указания нужных действий персонажам или течению всего произведения.

Вот пример из комедии Гоголя «Ревизор»: «Городничий. Две недели! (В сторону.) Батюшки, сватушки! Выносите, святые угодники! В эти две недели высечена унтер-офицерская жена! Арестантам не выдавали провизии! На улицах кабак, нечистота! Позор! поношенье! (Хватается за голову.)».

В-шестых, скобки нужны для оформления цитат: после того, как в кавычках приведена цитата, открывают скобки и пишут имя автора и название произведения, из которого взята цитата. Пример: «Поверьте (совесть в том порукой), супружество нам будет мукой». (А.С.Пушкин. Евгений Онегин).

Таким образом, скобки являются очень нужным знаком пунктуации. Именно потому, что они редко встречаются в тексте, они сразу же привлекают внимание к себе и к тому высказыванию, которое в себе содержат.

В данной статье рассказывается о скобках в математике и рассматриваются виды и применения, термины и методы использования при решении или для описания материала. В заключение будут решены подобные примеры с подробными комментариями.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основные виды скобок, обозначения, терминология

Для решения заданий в математике используются три вида скобок: () , , { } . Реже встречаются скобки такого вида ] и [ , называемые обратными, или < и > , то есть в виде уголка. Их применение всегда парное, то есть имеется открывающаяся и закрывающаяся скобка в любом выражении, тогда оно имеет смысл. скобки позволяют разграничить и определить последовательность действий.

Фигурная непарная скобка типа { встречается при решении систем уравнений, что обозначает пересечение заданных множеств, а [ скобка используется при их объединении. Далее рассмотрим их применение.

Скобки для указания порядка выполнения действий

Основное предназначение скобок – указание порядка выполняемых действий. Тогда выражение может иметь одну или несколько пар круглых скобок. По правилу всегда выполняется первым действие в скобках, после чего умножение и деление, а позже сложение и вычитание.

Пример 1

Рассмотрим на примере заданное выражение. Если дан пример вида 5 + 3 - 2 , тогда очевидно, что действия выполняются последовательно. Когда это же выражение записывается со скобками, тогда их последовательность меняется. То есть при (5 + 3) - 2 первое действие выполняется в скобках. В данном случае изменений не будет. Если выражение будет записано в виде 5 + (3 - 2) , тогда в начале производятся вычисления в скобках, после чего сложение с числом 5 . На исходное значение в этом случае оно не повлияет.

Пример 2

Рассмотрим пример, который покажет, как при изменении положения скобок может измениться результат. Если дано выражение 5 + 2 · 4 , видно, что вначале выполняется умножение, после чего сложение. Когда выражение будет иметь вид (5 + 2) · 4 , то вначале выполнится действие в скобках, после чего произведется умножение. Результаты выражений будут отличаться.

Выражения могут содержать несколько пар скобок, тогда выполнения действий начинаются с первой. В выражении вида (4 + 5 · 2) − 0 , 5: (7 − 2) : (2 + 1 + 12) видно, что первым делом выполняются действия в скобках, после чего деления, а в конце вычитание.

Существуют примеры, где имеются вложенные сложные скобки вида 4 · 6 - 3 + 8: 2 и 5 · (1 + (8 - 2 · 3 + 5) - 2)) - 4 . Тогда начинается выполнение действий с внутренних скобок. Далее производится продвижение к внешним.

Пример 3

Если имеется выражение 4 · 6 - 3 + 8: 2 , тогда очевидно, что в первую очередь выполняются действия в скобках. Значит, следует отнять 3 от 6 , умножить на 4 и прибавить 8 . В конце следует разделить на 2 . Только так можно получить верный ответ.

На письме могут быть использованы скобки разных размеров. Это делается для удобства и возможности отличия одной пары от другой. Внешние скобки всегда большего размера, чем внутренние. То есть получаем выражение вида 5 - 1: 2 + 1 2 + 3 - 1 3 · 2 · 3 - 4 . Редко встречается применение выделенных скобок (2 + 2 · (2 + (5 · 4 − 4))) · (6: 2 − 3 · 7) · (5 − 3) или применяют квадратные, например, [ 3 + 5 · (3 − 1) ] · 7 или фигурные { 5 + [ 7 − 12: (8 − 5) : 3 ] + 7 − 2 } : [ 3 + 5 + 6: (5 − 2 − 1) ] .

Перед тем, как приступить к решению, важно правильно определить порядок действий и разобрать все необходимые пары скобок. Для этого следует добавлять разные виды скобок или менять их цвет. Пометка скобки другим цветом удобна для решения, но занимает много времени, поэтому на практике чаще всего применяют круглые, фигурные и квадратные скобки.

Отрицательные числа в скобках

Если необходимо изобразить отрицательные числа, тогда применяют круглые скобки в выражении. Такая запись, как 5 + (− 3) + (− 2) · (− 1) , 5 + - 2 3 , 2 5 7 - 5 + - 6 7 3 · (- 2) · - 3 , 5 предназначена для того, чтобы упорядочить отрицательные числа в выражении.

Скобки не ставятся для отрицательного числа того, когда оно располагается в начале любого выражения или дроби. Если имеем пример вида − 5 · 4 + (− 4) : 2 , то очевидно, что знак минуса перед 5 можно не заключать в скобки, а при 3 - 0 , 4 - 2 , 2 · 3 + 7 + 3 - 1: 2 число 2 , 2 записано вначале, значит скобки также не нужны. Со скобками можно записать выражение (− 5) · 4 + (− 4) : 2 или 3 - 0 , 4 - 2 , 2 · 3 + 7 + 3 - 1: 2 . Запись, где имеются скобки, считается более строгой.

Знак минуса может находиться не только перед числом, но и перед переменными, степенями, корнями, дробями, функциями, тогда их следует заключить в скобки. Это такие записи, как 5 · (− x) , 12: (− 22) , 5 · - 3 + 7 - 1 + 7: - x 2 + 1 3 , 4 3 4 - - x + 2 x - 1 , 2 · (- (3 + 2 · 4) , 5 · (- log 3 2) - (- 2 x 2 + 4) , sin x · (- cos 2 x) + 1

Скобки для выражений, с которыми выполняются действия

Использование круглых скобок связано с указанием в выражении действий, где имеется возведение в степень, взятие производной, функции. Они позволяют упорядочивать выражения для удобства дальнейшего решения.

Скобки в выражениях со степенями

Выражение со степенью не всегда следует заключать в скобки, так как степень располагается надстрочно. Если имеется запись вида 2 x + 3 , то очевидно, что х + 3 – это показатель степени. Когда степень записывается в виде знака ^, тогда остальное выражение следует записывать с добавлением скобок, то есть 2 ^ (x + 3) . Если записать это же выражение без скобок, то получится совсем другое выражение. При 2 ^ x + 3 на выходе получим 2 x + 3 .

Основание степени не нуждается в скобках. Поэтому запись принимает вид 0 3 , 5 x 2 + 5 , y 0 , 5 . Если в основании имеется дробное число, тогда можно использовать круглые скобки. Получаем выражения вида (0 , 75) 2 , 2 2 3 32 + 1 , (3 · x + 2 · y) - 3 , log 2 x - 2 - 1 2 x - 1 .

Если выражение основания степени не взять в скобки, тогда показатель может относиться ко всему выражению, что повлечет за собой неправильное решение. Когда имеется выражение вида x 2 + y , а - 2 – это его степень, то запись примет вид (x 2 + y) - 2 . При отсутствии скобок выражение приняло бы вид x 2 + y - 2 , что является совершенно другим выражением.

Если основанием степени является логарифм или тригонометрическая функция с целым показателем, тогда запись приобретает вид sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g , log , ln или l g . При записи выражения вида sin 2 x , a r c cos 3 y , ln 5 e и log 5 2 x видим, что скобки перед функциями не меняют значения всего выражения, то есть они равноценны. Получаем записи вида (sin x) 2 , (a r c cos y) 3 , (ln e) 5 и log 5 x 2 . Допустимо опущение скобок.

Скобки в выражениях с корнями

Использование скобок в подкоренном выражении бессмысленно, так как выражение вида x + 1 и x + 1 являются равнозначными. Скобки не дадут изменений при решении.

Скобки в выражениях с тригонометрическими функциями

Если имеются отрицательные выражения у функций типа синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, тогда необходимо использовать круглые скобки. Это позволит правильно определить принадлежность выражения к имеющейся функции. То есть получим записи вида sin (− 5) , cos (x + 2) , a r c t g 1 x - 2 2 3 .

При записи sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g при имеющемся числе скобки не используют. Когда в записи присутствует выражение, тогда имеет смысл их поставить. То есть sin π 3 , t g x + π 2 , a r c sin x 2 , a r c t g 3 3 с корнями и степенями, cos x 2 - 1 , a r c t g 3 2 , c t g x + 1 - 3 и подобные выражения.

Если в выражении содержатся кратные углы типа х, 2 х, 3 х и так далее, скобки опускаются. Разрешено записывать в виде sin 2 x , c t g 7 x , cos 3 α . Во избежание двусмысленности скобки можно добавить в выражение. Тогда получаем запись вида sin (2 · x) : 2 вместо sin 2 · x: 2 .

Скобки в выражениях с логарифмами

Чаще всего все выражения логарифмической функции заключаются в скобки для дальнейшего правильного решения. То есть получаем ln (e − 1 + e 1) , log 3 (x 2 + 3 · x + 7) , l g ((x + 1) · (x − 2)) . Опущение скобок разрешено в том случае, когда однозначно понятно, к какому выражению относится сам логарифм. Если есть дробь, корень или функция можно записывать выражения в виде log 2 x 5 , l g x - 5 , ln 5 · x - 5 3 - 5 .

Скобки в пределах

При имеющихся пределах используют скобки для представления выражения самого предела. То есть при суммах, произведениях, частных или разностях принято записывать выражения в скобках. Получаем, что lim n → 5 1 n + n - 2 и lim x → 0 x + 5 · x - 3 x - 1 x + x + 1: x + 2 x 2 + 3 . Опущение скобок предполагается, когда имеется простая дробь или очевидно, к какому выражению относится знак. Например, lim x → ∞ 1 x или lim x → 0 (1 + x) 1 x .

Скобки и производная

При нахождении производной часто можно встретить применение круглых скобок. Если имеется сложное выражение, тогда вся запись берется в скобки. Например, (x + 1) " или sin x x - x + 1 .

Подынтегральные выражения в скобках

Если необходимо проинтегрировать выражение, то следует записать его в круглых скобках. Тогда пример примет вид ∫ (x 2 + 3 x) d x , ∫ - 1 1 (sin 2 x - 3) d x , ∭ V (3 x y + z) d x d y d z .

Скобки, отделяющие аргумент функции

При наличии функции чаще всего применяются круглые скобки для их обозначения. Когда дана функция f с переменной х, тогда запись принимает вид f (x) . Если имеются несколько аргументов функций, то такая функция получит вид F (x , y , z , t) .

Скобки в периодических десятичных дробях

Использование периода обусловлено применением скобок при записи. Сам период десятичной дроби заключается в скобки. Если дана десятинная дробь вида 0 , 232323 … тогда очевидно, что 2 и 3 мы заключаем в круглые скобки. Запись приобретает вид 0 , (23) . Это характерно для любой записи периодической дроби.

Скобки для обозначения числовых промежутков

Для того, чтобы изобразить числовые промежутки применяют скобки четырех видов: () , (] , [) и . В скобках прописываются промежутки, в каких функция существует, то есть имеет решение. Круглая скобка означает, что число не входит в область определения, квадратная – входит. При наличии бесконечности принято изображать круглую скобку.

То есть при изображении промежутков получим, что (0 , 5) , [ − 0 , 5 , 12) , - 10 1 2 , - 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , (− ∞ , − 4 ] , (− 3 , + ∞) , (− ∞ , + ∞) . Не вся литература одинаково использует скобки. Есть случаи, когда можно увидеть запись такого вида ] 0 , 1 [ , что означает (0 , 1) или [ 0 , 1 [ , что значит [ 0 , 1) , причем смысл выражения не меняется.

Обозначения систем и совокупностей уравнений и неравенств

Системы уравнений, неравенств принято записывать при помощи фигурной скобки вида { . Это означает, что все неравенства или уравнения объединены этой скобкой. Рассмотрим на примере использования скобки. Система уравнений вида x 2 - 1 = 0 x 2 + x - 2 = 0 или неравенства с двумя переменными x 2 - y > 0 3 x + 2 y ≤ 3 , cos x 1 2 x + π 3 = 0 2 x 2 - 4 ≥ 5 -система, состоящая из двух уравнений и одного неравенства.

Использование фигурных скобок относится к изображению пересечения множеств. При решении системы с фигурной скобкой фактически приходим к пересечению заданных уравнений. Квадратная скобка служит для объединения.

Уравнения и неравенства обозначаются [ скобкой в том случае, если необходимо изобразить совокупность. Тогда получаем примеры вида (x - 1) (x + 7) = 0 x - 2 = 12 + x 2 - x + 3 и x > 2 x - 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1

Можно встретить выражения, где имеются и система и совокупность:

x ≥ 5 x < 3 x > 4 , 5

Фигурная скобка для обозначения кусочной функции

Кусочная функция изображается при помощи одиночной фигурной скобки, где имеются формулы, определяющие функцию, содержащие необходимые промежутки. Посмотрим на примере формулы с содержанием промежутков типа x = x , x ≥ 0 - x , x < 0 , где имеется кусочная функция.

Скобки для указания координат точки

Для того, чтобы изобразить координатные точки в виде промежутков, используют круглые скобки. Они могут быть расположены как на координатной прямой, так и в прямоугольной системе координат или n-мерном пространстве.

Когда координата записывается как А (1) , то означает, что точка А имеет координату со значением 1 , тогда Q (x , y , z) говорит о том, что точка Q содержит координаты x , y , z .

Скобки для перечисления элементов множества

Множества задаются при помощи перечисления элементов, входящих в его область. Это выполняется при помощи фигурных скобок, где сами элементы прописываются через запятую. Запись выглядит таким образом А = { 1 , 2 , 3 , 4 } . Видно, что множество состоит из значений, перечисленных в скобках.

Скобки и координаты векторов

При рассмотрении векторов в системе координат используется понятие координат вектора. То есть при обозначении используют координаты, которые записаны в виде перечисления в скобках.

Учебники предлагают два вида обозначения: a → 0 ; - 3 или a → 0 ; - 3 . Обе записи равнозначны и имеют значение координат 0 , - 3 . При изображении в трехмерном пространстве добавляется еще одна координата. Тогда запись выглядит так: A B → 0 , - 3 , 2 3 или A B → 0 , - 3 , 2 3 .

Обозначение координат может быть как со значком вектора на самом векторе, так и без. Но запись координат производится через запятую в виде перечисления. Запись принимает вид a = (2 , 4 , − 2 , 6 , 1 2) , где вектор обозначается в пятимерном пространстве. Реже можно увидеть обозначение двумерного пространства в виде a = 3 - 7

Скобки для указания элементов матриц

Частое применение скобок предусмотрено в матрицах. Все элементы фиксируются при помощи круглых скобок вида A = 4 2 3 - 3 0 0 12 .

Реже можно увидеть использование квадратных скобок.
Тогда матрица приобретает вид A = 4 2 3 - 3 0 0 12 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пунктуация - один из самых сложных разделов русского языка не только для иностранцев, но и для самих русских. Сегодняшняя тема будет посвящена такому знаку препинания, как кавычки. Мы выясним, зачем нужны кавычки и как правильно их употреблять в письменной речи.

Несколько фактов о происхождении кавычек

Кавычки - знак препинания относительно молодой. Они появились в русской пунктуации приблизительно в конце XVIII века. Однако до этого (примерно с XVI века) кавычки использовались в качестве нотного знака. Интересно также, откуда произошло само слово "кавычки". Здесь мнения лингвистов расходятся, однако большинство ученых сходится в том, что слово это происходит от глагола "кавыкать". В переводе с одного из южно-русских диалектов это слово означает "прихрамывать", "ковылять". Откуда такая странная ассоциация? Все просто - на том же диалекте "кавыш" означает "гусенок" или "утенок". Отсюда "кавычки" - это закорючки, следы от гусиных или утиных лапок.

Виды кавычек и их употребление в русской пунктуации

Всего существует несколько видов кавычек, и именуются они по названию той страны, откуда произошли, а также по сходству с предметами. Первый из двух используемых в русском языке видов кавычек называется французские «ёлочки», второй вид кавычек, также употребляемых в русской письменной речи, называется немецкие „лапки“. Подробнее о правилах употребления елочек и лапок чуть ниже, а пока расскажем еще о двух видах кавычек, которые в русской пунктуации не принято использовать, но, тем не менее, многие их ошибочно употребляют. Это английские ‘одиночные’ и “двойные” кавычки. Согласно нормам русской пунктуации, можно использовать только французские елочки и немецкие лапки. Елочки употребляются как обычные кавычки, а лапки используются в качестве «кавычек „внутри“ кавычек», а также при написании текста вручную.

Правила употребления кавычек в предложении

Введем еще одно определение кавычек. Кавычками мы называем парный знак препинания, с помощью которого на письме выделяют определенные типы речи и значения слов. Что это за типы речи? Во-первых, это цитаты из каких-то источников. По-русски во многих случаях грамотнее употребить кавычки вместо значка авторского права - (c). Во-вторых, при помощи кавычек в тексте выделяется прямая речь. Если говорить о словах в кавычках, то здесь также есть два правила их постановки. Во-первых, кавычками выделяются названия различных организаций, предприятий, фирм, марок, сортов и т.д. Во-вторых, с помощью кавычек можно придать слову непрямое, то есть переносное значение, в том числе обратное и/или ироническое. Например, слово «умница», выделенное кавычками, может означать человека либо глупого, либо совершившего какой-то нелепый или необдуманный поступок. Уверены, что теперь Вам нетрудно будет написать сочинение на тему "Зачем нужны кавычки". Об остальных знаках препинания читайте в других наших статьях!

Вряд ли кто будет спорить с тем утверждением, что пунктуация - очень сложный раздел русского языка. Причем со многими трудностями в этом разделе сталкиваются не только иностранные граждане, решившие выучить русский язык, но и сами носители языка.

В русском языке знаков препинания немало. Но эту статью мы посвятим кавычкам. Попробуем разобраться, для чего такой знак препинания необходим, какую он несет функцию и каким образом его правильно употреблять. И чтобы лучше все понять, не лишним будет обратиться к некоторым фактам касательно происхождения самих кавычек.

Кавычки - это сравнительно молодой знак препинания. Их появление в русском языке датируется примерно концом 18 века. И здесь стоит отметить, что с 16 века кавычки уже использовались - но в качестве нотного знака. А каково же происхождение самого этого слова - «кавычки»?

Интересно, но единого мнения у лингвистов на этот счет нет. Подавляющее большинство ученых утверждает, что слово это происходит от такого глагола южно-русского диалекта, как «кавыкать», то есть «ковылять», «прихрамывать». Странная ассоциация, не правда ли?

А объясняется это довольно просто: на этом самом диалекте слово «кавыш» переводится как «утенок» или «гусенок». А кавычки представлялись как некие закорючки или, другими словами, следы от лапок утят или гусят.

Знаете ли вы, что существует несколько видов кавычек? Интересен тот факт, что их имя зависит непосредственно от той страны, откуда они и произошли. Немаловажную роль в их названии сыграло также сходство с некоторыми предметами.

Один вид кавычек, которые используются в русском языке, называются французскими «елочками». Другой вид этого знака препинания, который также можно встретить в русской письменной речи, именуется немецкими «лапками».

Существуют и другие виды кавычек, которые не свойственны русской пунктуации, но почему-то некоторые люди все равно ошибочно употребляют их в русском письменном языке. Речь идет об «одиночных» либо «двойных» кавычках, которые используются в английской письменности. Нормой в русской пунктуации принято считается использование лишь французских «елочек» (которые употребляют в качестве обычных кавычек) и немецких «лапок» (которые употребляют при написании текста вручную или как кавычки внутри кавычек: «… „ … “…»).

Существуют определенные правила употребления любых знаков препинания, и кавычки не стали исключением. Что такое кавычки? Кавычки - это парный знак, который мы используем на письме там, где есть необходимость на письме выделить:

1. Определенные типы речи:

Прямая речь;

Цитаты из каких-либо источников;

2. Значения слов:

Названия организаций, фирм, предприятий, сортов, марок и т.д.;

При непрямом, переносном значении, в том числе и ироническое и (или) обратное значение (например: «умница», то есть глупый человек или человек, совершивший необдуманный поступок).

Скобки

§ 188. В скобки заключаются слова и предложения, вставляемые в предложение с целью пояснения или дополнения высказываемой мысли, а также для каких-либо добавочных замечаний (о тире при таких вставках см. § ). Вставленными в предложение могут быть:

1. Cлова или предложения, синтаксически не связанные с данным предложением и приводимые для пояснения всей мысли в целом или ее части, например:

Л. Толстой

старинных обычаев

Тургенев

2. Слова и предложения, синтаксически не связанные с данным предложением и приводимые в качестве добавочного замечания, в том числе и выражающие вопросы или восклицание, например:

Пушкин

3. Слова и предложения, хотя и связанные синтаксически с данным предложением, но приводимые в качестве добавочного, второстепенного замечания, например:

Пушкин

Добролюбов

§ 189. В скобки заключаются фразы, указывающие на отношение слушателей к излагаемой речи какого-нибудь лица, например:

§ 190. В скобки заключаются непосредственно следующие за цитатой указания на фамилию автора и название произведения, из которого взята цитата.

§ 191. В скобки заключаются ремарки в драматическом тексте.