Семья Георга Кантора (1845-1918) переехала из России в Германию, когда он еще был ребенком. Именно там он начал изучать математику. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. В 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую общее решение очень сложной математической проблемы - и идеи, выросшие впоследствии в его знаменитую теорию - теорию множеств. В 1878 г. он ввел и сформулировал значительный ряд новых понятий, дал определение множества и первое определение континуума, развил принципы сравнивания множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности он дал в 1879-1884 гг.
Настойчивое стремление Кантора рассмотреть бесконечность как нечто актуально данное было для того времени большой новостью. Кантор мыслил свою теорию как совершенно новое исчисление бесконечного, "трансфинитную" (то есть "сверхконечную") математику. По его идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил жизнь. Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями. Титаническая попытка Георга Кантора, впрочем, закончилась странно: в теории были обнаружены трудно преодолимые парадоксы, ставящие под сомнение и значение любимой идеи Кантора - "лестницы алефов", последовательного ряда трансфинитных чисел. (Эти числа широко известны в принятом им обозначении: в виде буквы алеф - первой буквы еврейского алфавита.)
Неожиданность и своеобразие его точки зрения, несмотря на все преимущества подхода, обусловили резкое неприятие его работ большей частью ученых. Десятилетиями он вел упорную борьбу почти со всеми современниками-философами и математиками, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного. Некоторые приняли это как вызов, поскольку Кантор предполагал существование множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно много элементов. Знаменитый математик Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел "болезнью", от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Л. Кронекер - учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора, называя его "шарлатаном", "ренегатом" и "растлителем молодежи"! Только к 1890 г., когда были получены приложения теории множеств к анализу и геометрии, теория Кантора получила признание в качестве самостоятельного раздела математики.
Важно отметить, что Кантор способствовал созданию профессионального объединения - Немецкого математического общества, которое содействовало развитию математики в Германии. Он считал, что его научная карьера пострадала от предубежденного отношения к его трудам, и надеялся, что независимая организация позволит молодым математикам самостоятельно судить о новых идеях и заняться их разработкой. Он же был инициатором созыва первого Международного математического конгресса в Цюрихе.
Кантор тяжело переживал противоречия своей теории и сложности с ее принятием. С 1884 г. он страдал глубокой депрессией и через несколько лет отошел от научной деятельности. Умер Кантор от сердечной недостаточности в психиатрической лечебнице в Галле.
Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых "больше" предшествующей. Его теория трансфинитных множеств, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике 20 в. и стала ее краеугольным камнем.
Начало XIX века ознаменовалось открытием неевклидовой геометрии. В 1825 году - Николай Васильевич Лобачевский, чуть позже, в 1831 году - Янош Больяй. И судьба этих открытий была весьма трагичной. Ни одного, ни второго открытия не признали. Вплоть до 1860-х годов, до открытий других неевклидовых геометрий - Риман и др. А первооткрыватели неевклидовой геометрии уже умерли! И вот - теория множеств, которую тоже не признают, ругают... Ох уж этот странный XIX век...
Происхождение и образование
В философии математики анализировал проблему бесконечности . Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Георг Кантор настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, он в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии. Некоторые христианские богословы, преимущественно представители неотомизма, увидели в трудах Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.
В вопросе существования в математике различал интрасубъективную (имманентную, то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную (транзистентную, то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Георг Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем.
Возражения философского плана идеям Кантора высказал Людвиг Витгенштейн .
Последние годы
В 1897 году научная деятельность Кантора прервалась из-за тяжёлой болезни. Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца его дней приступы депрессии некоторое время ставили в вину современникам Кантора, занявшим слишком агрессивную позицию, эти приступы, как считают, были проявлением биполярного расстройства и маниакально-депрессивного психоза.
Был женат на Валли Гутман, с которой имел шестеро детей, последний из которых родился в 1886 году . Несмотря на скромное академическое жалование, математик оказался в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству.
Умер 6 января 1918 года в Галле (Заале).
Его именем был ударный кратер на обратной стороне Луны.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 4 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его родителями были Георг-Вольдемар Кантор и Мария Анна Бойм. Кантора вырастили как убеждённого протестанта, а любовь к искусству передалась ему от родителей. Считается, что он был выдающимся скрипачом. Его отец был немцем, а мать россиянкой, которая посещала римско-католическую церковь. С ранних лет у Кантора был частный преподаватель, он также посещал школу в Санкт-Петербурге. В 1856 году, когда Кантору было одиннадцать лет, его семья переехала в Германию, которую Кантор так никогда и не смог полюбить.
Здоровье отца Кантора начало ухудшаться, из-за чего семья вновь переехала, на этот раз во Франкфурт, из-за тёплого климата. Во Франкфурте Кантор учился в гимназии, которую закончил с отличием в 1960 году. Его учителя отмечали, что ему хорошо давалась математика, особенно тригонометрия. После гимназии в 1962 году Кантор поступил в федеральный университет Цюриха, в котором изучал математику. Получив одобрение родителей, он учился в нём в течение пары лет, пока смерть отца не положила учёбе конец. После смерти отца Кантор перешёл в университет Берлина, в котором подружился с Германом Шварцем и посещал лекции Кронекера, Вейерштрасса и Куммера. Летом он также учился в Геттингёнском университете, и в 1867 году закончил свою первую диссертацию по числам с названием «De aequationibus secondi gradus indeterminatis».
В это же году он получил докторскую степень по математике.
Карьера
В начале своей карьеры Кантор был активным членом математических союзов и сообществ. Он стал президентом одного из сообществ в 1865 и 1868 годах. Он также принимал участие в конференции Шеллбаха по математике. В 1869 году его назначили профессором в университете Галле. Он продолжал работу над различными диссертациями по теории чисел и анализу. В это же время Кантор решил продолжить изучение тригонометрии и начал размышлять над уникальностью геометрического изображения функций тригонометрического ряда, которые ему представил старший коллега, Гейне.
К 1870 году Кантор справился с задачей, доказав уникальность геометрического изображения, к большому изумлению Гейне. В 1873 году он доказал, что рациональные числа являются исчисляемыми и могут приходить в соответствие с натуральными числами. К концу 1873 года Кантор доказал, что и вещественные и относительные числа также исчисляемы. Его повысили до должности экстраординарного профессора в 1872 году, а в 1879 году он занял должность профессора высшей категории. Он был благодарен за назначение, но всё же хотел получить должность в более престижном университете.
В 1882 году Кантор начал переписываться с Гёста Миттаг-Леффлером, и вскоре начал печатать свои работы в журнале Леффлера – «Acta Mathematica». Кронекер – современник Канта – постоянно насмехался и угнетал теории Кантора.
Кантор продолжил публиковать свои работы, но в 1884 году у него случился нервный срыв, от которого он вскоре оправился и принял решение преподавать философию. Вскоре он начал изучать литературу елизаветинского периода.
В 1890 году он основал Немецкое математическое общество, в котором он впервые опубликовал чертежи диагонального сечения, таким образом немного наладив отношения с Кронекером. Но, несмотря на то, что учёные начали общаться, они так и не помирились, из-за чего напряжение в их отношениях присутствовало до конца жизни Кантора.
Личная жизнь
В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттман; у пары родилось шесть детей. Считается, что Кантор, несмотря на статус известного математика, не мог содержать свою семью. При наличии свободного времени он играл на скрипке и погружался в искусство и литературу. Он был награждён медалью Сильвестра за свои изыскания в математике. В 1913 году Кантор вышел на пенсию так как был морально неустойчив, страдал от постоянных психических расстройств и в конце концов он оказался в здравнице, где и пробыл до своей смерти.
Смерть и наследие
Георг Кантор умер 6 января 1918 года в Галле, после продолжительного психического расстройства. О Канторе вышло множество публикаций, одной из которых была публикация в книге «Творцы математики» и заметка в «Истории математики». Он основал Немецкое математическое сообщество, а большинство его научных работ используется до сих пор.
Основные работы
«Infinite sets»
«Uncountable sets»
«Cantor set»
«Cardinals and Ordinals»
«The Continuum hypothesis»
«Number theory and function theories»
«Infinitesimals»
«Convergent series»
«Transcendental numbers»
«Diagonal argument»
«Cantor-Bernstein-Schroeder theorem»
«Continuum hypothesis»
Публикации
«On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers»
«Foundations of a General Theory of Aggregates»
«Mathematische Annalen»
«Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre»
«De aequationibus secondi gradus indeterminatis»
Оценка по биографии
Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку
Кантор George Cantor Карьера: МатематикРождение: Россия» Санкт-Петербург, 3.3.1845 - 6.1
Георг Кантор - великий немецкий ученый, математик. Родился 3 марта 1845 года в России.Георг Кантор известен как создатель "теории множеств", автор теоремы Кантора. Кроме того, Георг Кантор определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику, ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных и т.д.
Семья Георга Кантора (1845-1918) переехала из России в Германию, когда он ещё был ребенком. Именно там он начал штудировать математику. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил уровень доктора в Берлинском университете. В 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую общее вывод крайне сложной математической проблемы - и идеи, выросшие позднее в его знаменитую теорию - теорию множеств. В 1878 г. он ввел и сформулировал важный строй новых понятий, дал определение множества и первое определение континуума, развил принципы сравнивания множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности он дал в 1879-1884 гг.
Настойчивое тяготение Кантора разобрать бесконечность как нечто актуально данное было для того времени здоровенный новостью. Кантор мыслил свою теорию как совсем новое исчисление бесконечного, "трансфинитную" (то есть "сверхконечную") математику. По его идее, создание такого исчисления должно было изготовить переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора еле-еле ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, тот, что считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет взметать математиков, а вдогонку за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил существование. Ученый решительно верил, что он избран Богом, чтобы произвести большой переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями. Титаническая попытка Георга Кантора, хотя вообще-то, закончилась странно: в теории были обнаружены тяжко преодолимые парадоксы, ставящие под колебание и значимость любимой идеи Кантора - "лестницы алефов", последовательного ряда трансфинитных чисел. (Эти числа обширно известны в принятом им обозначении: в виде буквы алеф - первой буквы еврейского алфавита.)
Неожиданность и своеобразие его точки зрения, несмотря на все преимущества подхода, обусловили резкое неприятие его работ большей частью ученых. Десятилетиями он вел упорную борьбу без малого со всеми современниками-философами и математиками, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного. Некоторые приняли это как вызов, ибо Кантор предполагал наличие множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно навалом элементов. Знаменитый математик Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел "болезнью", от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Л. Кронекер - педагог Кантора и единственный из самых авторитетных математиков Германии - более того нападал на Кантора, называя его "шарлатаном", "ренегатом" и "растлителем молодежи"! Только к 1890 г., когда были получены приложения теории множеств к анализу и геометрии, концепция Кантора получила признание в качестве самостоятельного раздела математики.
Важно подметить, что Кантор способствовал созданию профессионального объединения - Немецкого математического общества, которое содействовало развитию математики в Германии. Он считал, что его научная карьера пострадала от предубежденного отношения к его трудам, и надеялся, что независимая организация позволит молодым математикам независимо судить о новых идеях и заняться их разработкой. Он же был инициатором созыва первого Международного математического конгресса в Цюрихе.
Кантор несладко переживал противоречия своей теории и сложности с ее принятием. С 1884 г. он страдал глубокой депрессией и сквозь немного лет отошел от научной деятельности. Умер Кантор от сердечной недостаточности в психиатрической лечебнице в Галле.
Кантор доказал наличие иерархии бесконечностей, каждая из которых "больше" предшествующей. Его концепция трансфинитных множеств, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике 20 в. и стала ее краеугольным камнем.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))
Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества
и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств
.
Понятие множества
сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка
в математике или информация
в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое»
.
Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества
. Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.
Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.
Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.
Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.
Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.
Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):
Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.
Загрузка...