Использование ОЗМС при решении задач связано с определенными трудностями. Поэтому обычно устанавливают дополнительные соотношения между характеристиками движения и сил, которые более удобны для практического применения. Такими соотношениями являются общие теоремы динамики. Они, являясь следствиями ОЗМС, устанавливают зависимости между быстротой изменения некоторых специально введенных мер движения и характеристиками внешних сил.
Теорема об изменении количества движения. Введем понятие вектора количества движения (Р. Декарт) материальной точки (рис. 3.4):
Я і = т V г (3.9)
Рис. 3.4.
Для системы вводим понятие главного вектора количества движения системы как геометрической суммы:
Q = Y, m " V r
В соответствии с ОЗМС: Хю,-^=я) , или X
R (E) .
С учетом, того /w, = const получим: -Ym,!" = R (E) ,
или в окончательном виде
дО/ді = А (Е (3.11)
т.е. первая производная по времени главного вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.
Теорема о движении центра масс. Центром масс системы называют геометрическую точку, положение которой зависит от т, и т.е. от распределения масс /г/, в системе и определяется выражением радиуса-вектора центра масс (рис. 3.5):
где г с - радиус-вектор центра масс.
Рис. 3.5.
Назовем = т с массой системы. После умножения выраже-
ния (3.12) на знаменатель и дифференцирования обеих частей полу-
ценного равенства будем иметь: г с т с = ^т.У. = 0, или 0 = т с У с.
Таким образом, главный вектор количества движения системы равен произведению массы системы и скорости центра масс. Используя теорему об изменении количества движения (3.11), получим:
т с дУ с /ді = А (Е) , или
Формула (3.13) выражает теорему о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, обладающая массой системы, на которую действует главный вектор внешних сил.
Теорема об изменении момента количества движения. Введем понятие момента количества движения материальной точки как векторное произведение ее радиуса-вектора и количества движения:
к о, = бл х т, У , (3.14)
где к ОІ - момент количества движения материальной точки относительно неподвижной точки О (рис. 3.6).
Теперь определим момент количества движения механической системы как геометрическую сумму:
К() = X ко, = ЩУ, ? О-15>
Продифференцировав (3.15), получим:
Ґ сік --- х т і У. + г ю х т і
Учитывая, что = У Г У і х т і У і = 0, и формулу (3.2), получим:
сіК а /с1ї - ї 0 .
На основании второго выражения в (3.6) окончательно будем иметь теорему об изменении момента количества движения системы:
Первая производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.
При выводе соотношения (3.16) предполагалось, что О - неподвижная точка. Однако можно показать, что и в ряде других случаев вид соотношения (3.16) не изменится, в частности, если при плоском движении моментную точку выбрать в центре масс, мгновенном центре скоростей или ускорений. Кроме этого, если точка О совпадает с движущейся материальной точкой, равенство (3.16), записанное для этой точки обратится в тождество 0 = 0.
Теорема об изменении кинетической энергии. При движении механической системы изменяется как «внешняя», так и внутренняя энергия системы. Если характеристики внутренних сил, главный вектор и главный момент, не сказываются на изменении главного вектора и главного момента количества ускорений, то внутренние силы могут входить в оценки процессов энергетического состояния системы. Поэтому при рассмотрении изменений энергии системы приходится рассматривать движения отдельных точек, к которым приложены также и внутренние силы.
Кинетическую энергию материальной точки определяют как величину
Т^туЦг. (3.17)
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий материальных точек системы:
Заметим, что Т > 0.
Определим мощность силы, как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости:
(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант
1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:
(1)
, где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.
(2)
где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.
При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.
Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».
Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .
Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?
Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.
Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.
Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:
1. Теорема о движении центра масс механической системы ;
2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;
3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;
4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .
Довольно часто удается выделить важные особенности движения механической системы, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения. Это достигается применением общих теорем динамики.
5.1. Основные понятия и определения
Внешние и внутренние силы. Любая сила, действующая на точку механической системы, обязательно является либо активной силой, либо реакцией связи. Всю совокупность сил, действующих на точки системы, можно разделить на два класса иначе: на внешние силы и внутренние силы (индексы е и i - от латинских слов externus - внешний и internus - внутренний). Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав рассматриваемой системы. Внутренними называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.
Это разделение зависит от того, какие материальные точки и тела включены исследователем в рассматриваемую механическую систему. Если расширить состав системы, включив в нее дополнительно точки и тела, то некоторые силы, которые для прежней системы были внешними, для расширенной системы могут стать внутренними.
Свойства внутренних сил. Поскольку эти силы являются силами взаимодействия между частями системы, они входят в полную систему внутренних сил «двойками», организованными в соответствии с аксиомой действия-противодействия. У каждой такой «двойки» сил
главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из «двоек», то
1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю,
2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю.
Массой системы называется арифметическая сумма масс тк всех точек и тел, образующих систему:
Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор и координаты которой определяются формулами
где - радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.
Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки.
Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат (оси Кёнига) выбирают так, чтобы начало отсчета С постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кёнига и находится в начале координат.
Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина равная сумме произведений масс тк всех точек системы на квадраты их расстояний до оси:
Если механической системой является твердое тело, для нахождения 12 можно воспользоваться формулой
где - плотность, объем, занимаемый телом.
Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.
Общие теоремы динамики твердого тела и системы тел
Общие теоремы динамики - это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Теорема о движении центра масс механической системы
Теорема о движении центра масс.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.
Здесь M
- масса системы:
;
a C
- ускорение центра масс системы:
;
v C
- скорость центра масс системы:
;
r C
- радиус вектор (координаты) центра масс системы:
;
- координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.
Теорема об изменении количества движения (импульса)
Количество движения (импульс) системы
равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему:
.
Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.
Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.
Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:
.
Закон сохранения количества движения (импульса).
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.
Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O
называется величина , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:
.
Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.
Закрепленные системы
Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником. Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел. В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.
Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O
равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Закон сохранения главного момента количества движения (момента импульса).
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O
равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.
Произвольные системы
Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O следует брать центр масс C системы.
Теорема моментов относительно центра масс
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно центра масс C
равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Закон сохранения момента импульса.
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно центра масс C
равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Момент инерции тела
Если тело вращается вокруг оси z
с угловой скоростью ω z
,
то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z
определяется по формуле:
L z = J z ω z
,
где J z
- момент инерции тела относительно оси z
.
Момент инерции тела относительно оси z
определяется по формуле:
,
где h k
- расстояние от точки массой m k
до оси z
.
Для тонкого кольца массы M
и радиуса R
или цилиндра, масса которого распределена по его ободу,
J z = M R 2
.
Для сплошного однородного кольца или цилиндра,
.
Теорема Штейнера-Гюйгенса.
Пусть Cz
- ось, проходящая через центр масс тела, Oz
- параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением:
J Oz = J Cz + M a 2
,
где M
- масса тела; a
- расстояние между осями.
В более общем случае
:
,
где - тензор инерции тела.
Здесь - вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой m k
.
Теорема об изменении кинетической энергии
Пусть тело массы M
совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω
вокруг некоторой оси z
.
Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле:
,
где v C
- скорость движения центра масс тела;
J Cz
- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения. Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.
Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.
Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.
Работа, которую совершает сила
, равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F
и ds
на косинус угла между ними.
Работа, которую совершает момент сил
, равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.
Принцип Даламбера
Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения
Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.
Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z
и на него действуют внешние моменты сил M e zk
.
Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z
.
Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z
.
После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.
Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел
Принцип возможных перемещений
.
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.
Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.
Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.
Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)
Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.
Принцип Даламбера - Лагранжа
.
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики
.
Уравнения Лагранжа
Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.
Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.
Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .
Обобщенные силы Q 1
, Q 2
, ..., Q n
.
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k
получит перемещение δq k
.
Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k
- это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k
,
или
.
Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1
δq 1
+ Q 2
δq 2
+ ... + Q n δq n
.
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.
Для потенциальных сил
с потенциалом Π
,
.
Уравнения Лагранжа
- это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:
Здесь T
- кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.
Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
При большом количестве материальных точек, входящих в состав механической системы, или, если в её состав входят абсолютно твёрдые тела (), совершающие непоступательное движение, применение системы дифференциальных уравнений движения при решении основной задачи динамики механической системы оказывается практически неосуществимым. Однако при решении многих инженерных задач нет необходимости в определении движения каждой точки механической системы в отдельности. Иногда бывает достаточно сделать выводы о наиболее важных сторонах изучаемого процесса движения, не решая полностью систему уравнений движения. Эти выводы из дифференциальных уравнений движения механической системы составляют содержание общих теорем динамики. Общие теоремы, во-первых, освобождают от необходимости в каждом отдельном случае производить те математические преобразования, которые являются общими для разных задач и их раз и навсегда производят при выводе теорем из дифференциальных уравнений движения. Во-вторых, общие теоремы дают связь между общими агрегированными характеристиками движения механической системы, имеющими наглядный физический смысл. Эти общие характеристики, такие как количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия механической системы называютсямерами движения механической системы.
Первая мера движения – количество движения механической системы
|
M k
|
Пусть
дана механическая система, состоящая
из
|
материальных точек
.Положение
каждой точки массой
определяется в инерциальной системе
отсчёта
радиус-вектором
(рис. 13.1).
Пусть
-
скорость точки
.Количеством движения материальной точки называется векторная мера её движения, равная произведению массы точки на её скорость:
.
Количеством движения механической системы называется векторная мера её движения, равная сумме количеств движения её точек:
, (13.1)
Преобразуем правую часть формулы (23.1):
где
-
масса всей системы,
-
скорость центра масс.
Следовательно, количество движения механической системы равно количеству движения её центра масс, если сосредоточить в нём всю массу системы:
.
Импульс силы
Произведение
силы на элементарный промежуток времени
её действия
называется элементарным импульсом
силы.
Импульсом
силы
за промежуток времени
называется интеграл от элементарного
импульса силы
.
Теорема об изменении количества движения механической системы
Пусть
на каждую точку
механической
системы действуют равнодействующая
внешних сил
и равнодействующая внутренних сил
.
Рассмотрим основные уравнения динамики механической системы
Складывая почленно уравнения (13.2) для n точек системы, получим
(13.3)
Первая
сумма в правой части равна главному
вектору
внешних сил системы. Вторая сумма равна
нулю по свойству внутренних сил системы.
Рассмотрим левую часть равенства (13.3):
Таким образом, получим:
, (13.4)
или в проекциях на оси координат
(13.5)
Равенства (13.4) и (13.5) выражают теорему об изменении количества движения механической системы:
Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил механической системы.
Эту теорему можно представить также в интегральной форме, проинтегрировав обе части равенства (13.4) по времени в пределах от t 0 до t :
, (13.6)
где
,
а интеграл в правой части – импульс
внешних сил за
время t -t 0 .
Равенство (13.6) представляет теорему в интегральной форме:
Приращение количества движения механической системы за конечное время равно импульсу внешних сил за это время.
Теорему называют также теоремой импульсов.
В проекциях на оси координат, теорема запишется в виде:
Следствия (законы сохранения количества движения)
1).
Если главный вектор внешних сил за
рассматриваемый промежуток времени
равен нулю, то количество движения
механической системы постоянно, т.е.
если
,
.
2). Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна,
т.е.
если
то
.
Загрузка...