Простые и сложные высказывания. Отрицание высказывания

Математическая логика, основы которой были заложены Г.Лейбницем еще в XVII веке, сформировалась как научная дисциплина только в середине XIX века благодаря работам математиков Дж. Буля и О. Моргана, которые создали алгебру логики.

1. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Приведем примеры:

б) 2+6>8 (ложное высказывание),

в) сумма чисел 2 и 6 больше числа 8 (ложное высказывание);

г)II + VI > VII(истинное высказывание);

д) в пределах нашей Галактики существуют внеземные цивилизации (это высказывание, несомненно, либо истинно, либо ложно, но пока неизвестно, какая из этих возможностей выполняется).

Ясно, что высказывания б) и в) означают одно и то же, но выражены они по-разному. Вообще высказывания будем записывать так: а:(Луна - спутник Земли); b:(существует такое действительное число х, что 2х+5=15); с:(все треугольники – равнобедренные).

Не всякое предложение является высказыванием. Например, восклица­тельные и вопросительные предложения высказываниями не являются ("Какого цвета этот дом?", "Пейте томатный сок!", "Стой!" и т.д.). Не являются высказы­ваниями и определения, например, "Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны". Здесь лишь устанавливается название некоторого объекта. Таким образом, определения, но могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов. Не являются высказываниями и предложения "Он сероглаз" или "х 2 - 4х + 3 = 0" - в них не указано, о каком человеке идет речь или при каких х рассматривают равенство. Такие предложения с неизвестным членом (переменной) называют неопределенными высказываниями . Отметим, что предложение "Некоторые люди сероглазы" или ""Для всех х справедливо равенство х 2 - 4х + 3 = 0" уже являются высказыванием (первое из них истинно, а второе ложно).

2. Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым. Например, высказывание "Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток" состоит из двух частей" "Сегодня в 4 часа дня я был в школе" и "Сегодня к 6 часам вечера я пошел на каток". Или такое высказывание: "функция у = ax 2 + bx + с непрерывна и дифференцируема при всех значениях х" состоит из двух простых высказываний: "Функция у = ах 2 + bx + с непрерывна при всех значениях х" и "функция у = ах 2 + bx + с дифференцируема при всех значениях х".

Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющие специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалент­ность, отрицание. Хотя названия эти звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные соединения отдельных предложений связками "и", "или", "если…то…", "тогда и только тогда, когда…", а также присоединение к высказыванию частицы "не",

3. Отрицанием высказывания а называют такое высказывание а, что а ложно, если а истинно, и а истинно, если а ложно. Обозначение а читается так: "Не а", или "Неверно, что а". Попробуем это определение понять на примерах. Рассмотрим следующие высказывания:

а:(Сегодня в 12 часов дня я был на катке);

b:(Сегодня я был на катке не в 12 часов дня);

с:(Я был на катке в 12 часов дня не сегодня);

d:(Сегодня в 12 часов дня я был в школе);

е:(Сегодня я был на катке в 3 часа дня);

f:(Сегодня в 12 часов дня я не был на катке);

На первый взгляд все высказывания b - f отрицают высказывание а. Но на самом деле это не так. Если внимательно вчитаться в смысл высказывания b, то можно заметить, что оба высказывания а и b могут одновременно оказаться ложными - так будет, если сегодня я совсем не был на катке. То же самое относится и к высказываниям а и с, а и а. А высказывания а и е могут оказаться и одновременно истинными (если, например, я катался на коньках с 11 до 4 часов дня), и одновременно ложными (если сегодня я совсем не был на катке). И только высказывание f обладает следующим свойством: оно истинно в том случае, когда высказывание а ложно, и ложно в том случае, когда высказывание а истинно. Значит, высказывание f есть отрицание высказывания а, то есть f = а. Следующая таблица показывает связь между высказываниями а и ;

Буквы "и" и "л" - сокращение слов "истина" и "ложь" соответственно. Эти слова в логике называют значениями истинности. Таблица называется таблицей истинности .

Высказывания отрицания

Среди высказываний отрицания различают высказывания с внешним и внутренним отрицанием. В зависимости от задач исследования высказывание отрицания можно рассматривать или как простое, или как сложное высказывание.

При рассмотрении высказывания отрицания как простого высказывания важной задачей является определение правильной логической формы высказывания:

Простое высказывание, содержащее внутреннее отрицание, принято относить к отрицательным высказываниям (см. «Виды атрибутивных высказывания по качеству»). Например: «Некоторые жители Республики Беларусь не пользуются банковскими кредитами», «Ни один заяц не является хищником»;

Правильной логической формой простого высказывания с внешним отрицанием является противоречащее данному высказывание (см. «Логические отношения между высказываниями. Логический квадрат»). Например: высказыванию «Не все люди жадные» соответствует высказывание «Некоторые люди не являются жадными ».

Рассматривая высказывание отрицания как сложное высказывание, необходимо определить его логическое значение.

Исходное высказывание: Солнце светит (р).

Высказывание отрицания: Солнце не светит (┐р).

Высказывание двойного отрицания: Неверно, что солнце не светит (┐┐р).

р	┐р	┐┐р
И	Л	И
Л	И	Л
Рис. 16

Высказывание отрицание истинно лишь тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. С высказыванием отрицания связан закон двойного отрицания: двойное отрицание произвольного высказывания равносильно самому этому высказыванию. Условия истинности высказывания отрицания изображены на рис. 16.

Сложным считается высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, соединенных при помощи логических союзов «и», «или», «если…, то…» и т. д. К сложным высказываниям относят соединительные, разделительные, условные, эквивалентные высказывания, а также высказывания отрицания.

Соединительное высказывание (конъюнкция) – это сложное высказывание, состоящее из простых, соединенных при помощи логической связки «и». Логический союз «и» (конъюнкция) может выражаться в естественном языке грамматическими союзами «и», «но», «однако», «а также» и т. д. Например: «Набежали тучи, и пошел дождь», «И большие и малые радуются хорошему дню» . На символическом языке логики данные высказывания записываются следующим образом: p∧q . Конъюнкция истинна лишь тогда, когда истинны все ее составляющие простые высказывания (рис. 17).

Разделительное высказывание (дизъюнкция). Различают слабую и сильную дизъюнкцию. Слабой дизъюнкции соответствует употребление союза «или» в соединительно-разделительном смысле (или то, или другое, или то и другое вместе). Например: «Этот студент спортсмен или отличник» (p⋁q ), «Наследственные факторы, плохая экология и вредные привычки являются причинами большинства заболеваний» (p⋁q⋁r ). Слабая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).

Сильной дизъюнкции соответствует употребление союза «либо» в исключающе-разделительном смысле (либо то, либо другое, но не то и другое вместе). Например: «Вечером я буду на занятиях или пойду на дискотеку», «Человек либо жив, либо мертв» . Символическая запись p⊻q . Сильная дизъюнкция истинна тогда, когда истинно только одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).

Условное высказывание (импликация) – это сложное высказывание, состоящее из двух частей, соединенных с помощью логического союза «если…, то…». Высказывание, стоящее после частицы «если», называют основанием, а высказывание, стоящее после «то» – следствием. При логическом анализе условных высказываний основание импликации всегда ставится вначале. В естественном языке это правило часто не соблюдается. Пример условного высказывания: «Если ласточки низко летают, то будет дождь» (p→q ). Импликация ложна лишь в одном случае, когда ее основание истинно, а следствие – ложно (см. рис. 17).

Эквивалентное высказывание – это высказывание, состоящее из простых, соединенных с помощью логического союза «тогда и только тогда, когда» («если и только если…, то…). В эквивалентном высказывании подразумевается одновременное наличие или отсутствие двух ситуаций. В естественном языке эквиваленция может выражаться грамматическими союзами «если…, то…», «лишь в том случае, когда…» и т. д. Например: «Наша команда выиграет лишь в том случае, если хорошо подготовится » (p↔q ). Эквивалентное высказывание будет истинным тогда, когда составляющие его высказывания являются либо одновременно истинными, либо одновременно ложными (см. рис. 17).

Для формализации рассуждения необходимо:

1) найти и обозначить малыми согласными буквами латинского алфавита простые высказывания, входящие в состав сложного. Переменные присваиваются произвольно, но если одно и то же простое высказывание встречается несколько раз, то столько же раз используется соответствующая переменная;

2) найти и обозначить логическими константами логические союзы (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐);

3) в случае необходимости расставить технические знаки [...], (...).

На рис. 18 изображен пример формализации сложного высказывания.

Я уже освободился (p) и (∧) , если меня не задержат (┐q ) или (⋁)не сломается автомобиль (┐r), то(→) я скоро приеду (s) .

p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s

Рис. 18

После того как высказывание записано в символическом виде, можно определить тип формулы. В логике различают тождественно-истинные, тождественно-ложные и нейтральные формулы. Тождественно-истинные формулы независимо от значений входящих в их состав переменных всегда принимают значение «истина», а тождественно-ложные – значение «ложно». Нейтральные формулы принимают как значение «истина», так и значение «ложно».

Для определения типа формулы используется табличный способ, сокращенный способ проверки формулы на истинность методом «сведения к абсурду» и приведение формулы к нормальной форме. Нормальной формой некоторой формулы является такое ее выражение, которое соответствует следующим условиям:

Не содержит знаков импликации, эквиваленции, строгой дизъюнкции и двойного отрицания;

Знаки отрицания находятся только при переменных.

Табличный способ определения типа формулы:

1. Строят столбцы входных значений для каждой из имеющихся переменных. Эти столбцы называют свободными (независимыми), в них учитывают все возможные комбинации значений переменных. Если в формуле две переменные, то строят два свободных столбца, если же три переменные, то три столбца и т. д.

2. Для каждой подформулы, то есть части формулы, содержащей хотя бы один союз, строят столбец ее значений. При этом учитываются значения свободных столбцов и особенности логического союза (см. рис. 17).

3. Строят столбец выходных значений для всей формулы в целом. По значениям, полученным в выходном столбце, определяют тип формулы. Так, если в выходном столбце имеется только значение «истина», то формула будет относиться к тождественно-истинным и т.д.

Таблица истинности для формулы (p ^ q) → r
p	q	r	p ^ q	(p ^ q) → r
И	И	И	И	И
Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	Л	И
И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	И	Л
И	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	И
Л	Л	Л	Л	И
Рис. 19

Число столбцов в таблице равняется сумме переменных, входящих в формулу, и имеющихся в ней союзов. (Например: в формуле на рис. 18 четыре переменных и пять союзов, следовательно, в таблице будет девять столбцов).

Количество строк в таблице вычисляется по формуле С = 2 n , где n – количество переменных. (В таблице по формуле на рис. 18 должно быть шестнадцать строк.)

На рис. 19 изображен пример таблицы истинности.

Сокращенный способ проверки формулы на истинность методом сведения к абсурду:

((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))

1. Предположим, что данная формула не является тождественно-истинной. Следовательно, при некотором наборе значений она принимает значение «ложно».

2. Данная формула может принимать значение «ложно» только в том случае, если основание импликации (p⋁q)⋁r будет «истинно», а следствие p⋁(q⋁r) – «ложно».

3. Следствие импликации p⋁(q⋁r) будет ложным в том случае, когда р – «ложно» и q⋁r – «ложно» (см. значение слабой дизъюнкции на рис. 17).

4. Если q⋁r – «ложно», то и q и r – «ложно».

5. Мы установили что р – «ложно», q – «ложно» и r – «ложно». Основание импликации (p⋁q)⋁r представляет собой слабую дизъюнкцию этих переменных. Так как слабая дизъюнкция принимает значение «ложно» тогда, когда ложными являются все ее составляющие, то основание импликации (p⋁q)⋁r тоже будет «ложным».

6. В п. 2 установили, что основание импликации (p⋁q)⋁r – «истинно», а в п. 5 что оно является «ложным». Возникшее противоречие свидетельствует о том, что предположение, сделанное нами в п. 1, ошибочно.

7. Так как данная формула ни при каком наборе значений своих переменных не принимает значение «ложно», то она является тождественно-истинной.

3.8. Логические отношения между высказываниями
(логический квадрат)

Между высказываниями, имеющими сходный смысл, устанавливаются связи. Рассмотрим отношения между простыми и сложными высказываниями.

В логике всю совокупность высказываний разделяют на сравнимые и несравнимые. Несравнимыми среди простых высказываний являются высказывания, имеющие различные субъекты или предикаты. Например: «Все студенты – учащиеся» и «Некоторые студенты – отличники» .

Сравнимыми являются высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой и квантором. Например: «Все граждане Республики Беларусь имеют право на отдых» и «Ни один гражданин Республики Беларусь не имеет право на отдых».

Рис. 20

Отношения между сравнимыми высказываниями выражаются с помощью модели, которую называют логический квадрат (рис. 20).

Среди сравнимых высказываний различают совместимые и несовместимые.

Отношение совместимости

1. Эквивалентность (полная совместимость) – высказывания, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную утвердительную или отрицательную связку, одну и ту же логическую характеристику. Эквивалентные высказывания различаются словесным выражением одной и той же мысли. С помощью логического квадрата отношения между данными высказываниями не иллюстрируются.

2. Частичная совместимость (подпротивность, субконтрарность ). В этом отношении находятся частноутвердительное и частноотрицательное высказывания (I и О). Это означает, что два таких высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то второе обязательно истинно. Если же одно из них истинно, то второе неопределенно.

3. Подчинение (субординация ). В этом отношении находятся общеутвердительное и частноутвердительное высказывания (А и I), а также общеотрицательное и частноотрицательное высказывания (Е и О).

Из истинности общего высказывания всегда следует истинность частного. В то время как истинность частного высказывания свидетельствует о неопределенности общего высказывания.

Из ложности частного высказывания всегда следует ложность общего высказывания, но не наоборот.

Отношение несовместимости. Несовместимыми являются высказывания, которые не могут быть одновременно истинными:

1. Противоположность (противность, контрарность) – в этом отношении находятся общеутвердительное и общеотрицательное высказывания (А и Е). Это отношение означает, что два таких высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Если одно из них истинно, то второе обязательно – ложно. Если же одно из них ложно, то второе неопределенно.

2. Противоречие (контрадикторность) – в нем находятся обще-утвердительное и частноотрицательное высказывания (A и О), а также общеотрицательное и частноутвердительное высказывания (Е и I). Два противоречащих высказывания не могут быть ни одновременно ложными, ни одновременно истинными. Одно обязательно истинно, а другое ложно.

Сравнимыми среди сложных высказываний являются высказывания, имеющие хотя бы одну одинаковую составляющую. В противном случае сложные высказывания несравнимы.

Сравнимые сложные высказывания могут быть совместимыми или несовместимыми.

Отношение совместимости означает, что высказывания могут быть одновременно истинными:

2. Частичная совместимость означает, что высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными (рис. 22).

p	q	p→q	q→p
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	И	Л
Л	Л	И	И
Рис. 22

3. Отношение следования (подчинения ) означает, что из истинности одного высказывания следует истинность другого, но не наоборот (рис. 23).	p q r (p→q)∧(q→r) p↔r И И И И И И И Л Л Л И Л И Л И Л И И И И И Л Л Л Л Л И Л Л И Л Л И И И Л Л Л И И Рис. 23
4. Отношение сцепления означает, что истинность (ложность) одного высказывания не исключает ложности (истинности) другого (рис. 24).	p q p→q ┐p→q И И И И И Л Л И Л И И И Л Л И Л Рис. 24

Отношение несовместимости означает, что высказывания не могут быть одновременно истинными:

2. Противоречие – отношение между высказываниями, которые не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными (рис. 26).

p	q	p→q	p∧┐q
И	И	И	Л
И	Л	Л	И
Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л
Рис. 26

Умные мысли приходят лишь тогда, когда глупости уже сделаны.

Только те, кто предпринимает абсурдные попытки, смогут достичь невозможного. Альберт Эйнштейн

Хорошие друзья, хорошие книги и спящая совесть — вот идеальная жизнь. Марк Твен

Нельзя вернуться в прошлое и изменить свой старт, но можно стартовать сейчас и изменить свой финиш.

При ближайшем рассмотрении мне вообще становится ясно, что те перемены, которые как будто наступают с ходом времени, по сути никакие не перемены: меняется только мой взгляд на вещи. (Франц Кафка)

И хоть велик соблазн по сразу двум идти дорогам, нельзя одной колодой карт играть и с дьяволом и с Богом…

Цените тех, с кем можно быть собой.
Без масок, недомолвок и амбиций.
И берегите их, они вам посланы судьбой.
Ведь в вашей жизни их - лишь единицы

Для утвердительного ответа достаточно лишь одного слова - «да». Все прочие слова придуманы, чтобы сказать «нет». Дон-Аминадо

Спроси у человека: «Что такое счастье?» и ты узнаешь, чего ему больше всего не хватает.

Если хочешь понять жизнь, то перестань верить тому, что говорят и пишут, а наблюдай и чувствуй. Антон Чехов

В мире нет ничего разрушительнее, невыносимее, как бездействие и ожидание.

Воплощайте свои мечты в реальность, работайте над идеями. Те кто над вами раньше смеялись начнут завидовать.

Рекорды существуют для того, чтобы их бить.

Нужно не тратить время, а инвестировать в него.

История человечества – это история достаточно небольшого числа людей, которые поверили в себя.

Довёл себя до края? Не видишь смысла больше жить? Значит, ты уже близок… Близок к решению дойти до дна, чтобы оттолкнуться от него и навсегда решить быть счастливым.. Так что не бойся дна - используй его….

Если вы честны и откровенны, то люди будут обманывать вас; всё равно будьте честны и откровенны.

Человек редко преуспевает в чем бы то ни было, если его занятие не доставляет ему радости. Дейл Карнеги

Если в твоей душе осталась хоть одна цветущая ветвь, на неё всегда сядет поющая птица.(Восточная мудрость)

Один из законов жизни гласит, что как только закрывается одна дверь,открывается другая. Но вся беда в том, что мы смотрим на запертую дверь и не обращаем внимания на открывшуюся. Андре Жид

Не судите человека, пока не поговорите с ним лично, потому что всё, что вы слышите — слухи. Майкл Джексон.

Сначала тебя игнорируют, затем над тобой смеются, затем с тобой борются, затем ты побеждаешь. Махатма Ганди

Человеческая жизнь распадается на две половины: в течении первой половины стремятся вперед ко второй, а в течении второй обратно к первой.

Если ты сам ничего не делаешь, как тебе можно помочь? Управлять можно только движущимся автомобилем

Все будет. Только когда ты решишься на это.

В этом мире можно искать всё, кроме любви и смерти… Они сами тебя найдут, когда придет время.

Внутренняя удовлетворённость наперекор окружающему миру страданий – очень ценное достояние. Шридхар Махарадж

Начинай уже сейчас жить той жизнью, какой ты хотел бы видеть ее в конце. Марк Аврелий

Надо каждый день жить как в последний миг. У нас не репетиция - у нас жизнь. Мы не начинаем ее с понедельника - мы живем сегодня.

Каждое мгновенье жизни - еще одна возможность.

Год спустя ты будешь смотреть на мир другими глазами и даже это дерево, что растёт возле твоего дома, покажется тебе иным.

Счастье не надо искать - им надо быть. Ошо

Почти каждая история успеха, которая мне известна, начиналась с того, что человек лежал навзничь, поверженный неудачами. Джим Рон

Каждый долгий путь начинается с одного, с первого шага.

Никто не лучше Вас. Никто не умнее Вас. Просто они начали раньше. Брайан Трейси

Падает тот, кто бежит. Тот, кто ползет, не падает. Плиний Старший

Достаточно лишь понять, что живёшь в будущем, как сразу там и окажешься.

Я выбираю жить, а не существовать. James Alan Hetfield

Когда ты будешь ценить то, что у тебя есть, а не жить в поиске идеалов, тогда ты по-настоящему станешь счастливым..

О нас думают плохо лишь те, кто хуже нас, а те, кто лучше нас, им просто не до нас. Омар Хайям

Иногда от счастья нас отделяет один звонок… Один разговор… Одно признание…

Признавая свою слабость, человек становится сильным. Онре Бальзак

Тот, кто смиряет дух свой, сильнее того, кто покоряет города.

Когда шанс выпадает - надо его хватать. А когда ухватил, добился успеха - насладись. Ощути радость. И пусть вокруг все сосут у тебя шланг за то, что были козлами, когда не давали за тебя и гроша. А дальше - уйди. Красиво. И всех оставить в шоке.

Никогда не отчаивайтесь. А если вы уже впали в отчаяние, то продолжайте работать и в отчаянии.

Решительный шаг вперед - результат хорошего пинка сзади!

В России надо быть или известным или богатым, чтобы к тебе относились так, как в Европе относятся к любому. Константин Райкин

Все зависит только от вашего отношения. (Чак Норрис)

Никакие рассуждения не в состоянии указать человеку путь, которого он не хочет видеть Ромен Роллан

То, во что ты веришь, становится твоим миром. Ричард Матесон

Там хорошо, где нас нет. В прошлом нас уже нет, и поэтому оно кажется прекрасным. Антон Чехов

Богатые становятся еще богаче потому, что учатся преодолевать финансовые трудности. Они видят в них возможность учиться, расти, развиваться и богатеть.

У каждого свой ад - это не обязательно огонь и смола! Наш ад - это жизнь впустую! Куда приводят мечты

Совершенно не важно как много ты работаешь, главное результат.

Только у мамы самые ласковые руки, самая нежная улыбка и самое любящее сердце…

Победители по жизни всегда думают в духе: я могу, я хочу, я. Неудачники, наоборот, сосредотачивают свои рассеянные мысли на том, что они могли бы иметь, могли бы сделать или что они не могут делать. Другими словами, победители берут всегда ответственность на себя, а лузеры винят в своих неудачах обстоятельства или других людей. Дэнис Вэйтли.

Жизнь — гора поднимаешься медленно, спускаешься быстро. Ги де Мопассан

Люди так боятся сделать шаг навстречу новой жизни, что готовы закрыть глаза на все, что их не устраивает. Но это еще страшнее: проснуться однажды и осознать, что рядом все не то, не то, не то… Бернард Шоу

Дружба и доверие не покупаются и не продаются.

Всегда, в каждую минуту своей жизни, даже когда Вы абсолютно счастливы, имейте одну установку в отношении окружающих Вас людей: - Я в любом случае сделаю то, чего хочу, с вами или без Вас.

В мире только и можно выбирать между одиночеством и пошлостью. Артур Шопенгауэр

Стоит только иначе взглянуть на вещи, и жизнь потечёт в ином направлении.

Железо так говорило магниту: больше всего я тебя ненавижу за то, что ты притягиваешь, не имея достаточно сил, чтобы тащить за собой! Фридрих Ницше

Умей жить и тогда, когда жизнь становится невыносимой. Н. Островский

Картина которую ты видишь в своем разуме, со временем станет твоей жизнью.

«Первую половину жизни спрашиваешь себя, на что ты способен, но вторую — а кому это нужно?»

Никогда не поздно поставить новую цель или обрести новую мечту.

Управляйте своей судьбой, или это сделает кто-то другой.

красоту увидеть в некрасивом,
разглядеть в ручьях разливы рек…
кто умеет в буднях быть счастливым,
тот и впрямь счастливый человек! Э. Асадов

У мудреца спросили:

Сколько видов дружбы существует?

Четыре — ответил он.
Есть друзья, как еда — каждый день ты нуждаешься в них.
Есть друзья, как лекарство, ищешь их, когда тебе плохо.
Есть друзья, как болезнь, они сами ищут тебя.
Но есть такие друзья, как воздух — их не видно, но они всегда с тобой.

Я стану человеком, которым я хочу стать, - если я поверю, что я им стану. Ганди

Откройте свое сердце и прислушайтесь к тому, о чем оно мечтает. Следуйте за своей мечтой, потому что только через того, кто себя не стыдится, проявится слава Господня. Пауло Коэльо

Быть опровергнутым – этого опасаться нечего; опасаться следует другого – быть непонятым. Иммануил Кант

Будьте реалистами — требуйте невозможного! Че Гевара

Не откладывай свои планы, если на улице дождь.
Не отказывайся от мечты, если в тебя не верят люди.
Иди наперекор природе, людям. Ты личность. Ты сильный.
И запомни — нет недостижимых целей - есть высокий коэффициент лени, недостаток смекалки и запас отговорок.

Или ты создаешь мир, или мир создает тебя. Джек Николсон

Я люблю, когда люди улыбаются просто так. Едешь, например, в автобусе и видишь, как человек смотрит в окно или пишет смс и улыбается. Так хорошо становится на душе. И самому хочется улыбаться.

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Наши рассуждения слагаются из высказываний. К примеру, в умозаключение «Некоторые птицы летают; значит, некоторые летающие - птицы» входят два разных высказывания.

Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части, мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, дует ветер» и т. п. Выражения «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из других, более простых высказываний.

Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.

Отрицание - логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое высказывание, такое, что если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т. п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит также от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным, или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собою по смыслу.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ленинградском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе - ложно.

Символ V будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться символ V . Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

Разложение некоторого высказывания на простые, далее неразложимые части дает два вида выражений, называемых собственными и несобственными символами. Особенность собственных символов в том, что они имеют какое-то содержание, даже взятые сами по себе. К ним относятся имена (обозначающие некоторые объемы), нерешенные (отсылающие к какой-то области объектов), высказывания (описывающие какие-то ситуации и являющиеся истинными или ложными). Несобственные символы не имеют самостоятельного содержания, но в сочетании с одним или несколькими собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. К несобственным символам относятся, в частности, логические связки, используемые для образования сложных высказываний из простых: «... и...», «... или...», «либо..., либо...», «если..., то...», «... тогда и только тогда, когда...», «ни..., ни...», «не..., а...», «..., но не...», «неверно, что...» и т. п. Само по себе слово, скажем «или», не обозначает никакого объекта. Но в совокупности с двумя собственными, обозначающими символами это слово дает новый обозначающий символ: из двух высказываний «Письмо получено» и «Телеграмма отправлена» - новое высказывание «Письмо получено или телеграмма отправлена».

Центральная задача логики - отделение правильных схем рассуждения от неправильных и систематизация первых. Логическая правильность определяется логической формой. Для ее выявления нужно отвлечься от содержательных частей рассуждения (собственных символов) и сосредоточить внимание на несобственных символах, представляющих эту форму в чистом виде. Отсюда интерес формальной логики к таким, обычно не привлекающим внимания словам, как «и», «или», «если, то» и т. п.

Мы очень любим мудрые высказывания великих людей. Тех, чьи имена золотыми буквами вписаны в историю мира. Но и обычные люди, наши с вами друзья, приятели, однокашники, иной раз такое «отмочат» - хоть стой, хоть падай. На этой странице мы собрали для вас этакий микс самых, на наш взгляд, интересных высказываний о жизни, судьбе, любви. Креативных, юморных, мудрых, впечатляющих, трогательных, цепляющих за душу, позитивных… на любой цвет и вкус)

1. Про работу и зарплату

2. Про ложь и правду

У лжи… широкая дорога… У правды… узкая тропа… Ложь… языков имеет много… А правда… на слова скупа… Ложь… это скользкие слова… но заползут в любые уши… А правда… тонкая струна… но пробивается сквозь души!!!

3. Неисповедимы Пути Господни…

Бог не дает вам людей, которых вы хотите. Он дает вам людей, в которых вы нуждаетесь. Они причиняют вам боль, любят, учат вас, ломают вас, чтобы превратить вас в того, кем вы должны быть.

4. Классно!!!

Как классно! На работу только через 20 лет!)

5. Система расчёта…

Это только кажется, что за всё платят деньгами. За всё действительно важное платят кусочками души…

6. Во всём нужно видеть позитив)

Если судьба подкинула тебе кислый лимон - подумай, где достать текилу и отлично повеселиться.

7. От Эрих Мария Ремарк

Кто хочет удержать - тот теряет. Кто готов с улыбкой отпустить - того стараются удержать.

8. Разница между собакой и человеком…

Если ты подберешь голодную собаку и сделаешь ее жизнь сытой, она никогда не укусит тебя. В этом принципиальная разница между собакой и человеком.

9. Только ТАК!

10. Дорога судьбы

Каждый человек в своей жизни должен пройти через это. Разбить чужое сердце. Разбить свое. И потом научиться бережно относиться и к своему, и к чужому сердцу.

11. В чём сила характера?

Сила характера не в умении пробивать стены, а в умении находить двери.

12. Ваш малыш развивается хорошо)

Девочки, счастье это не затяжка сигареты и глоток пива, счастье - это когда ты приходишь к врачу и тебе говорят: “Ваш малыш развивается хорошо, отклонений нет!”

13. От матери Терезы, жизненно важная мысль…

Для создания семьи достаточно полюбить. А для сохранения - нужно научиться терпеть и прощать.

14. Показалось)

В детстве казалось, что после тридцати - это старость… Слава Богу показалось!

15. Отделяйте зёрна от плевел…

Учитесь отличать важное и второстепенное. Высшее образование – не показатель ума. Красивые слова – не показатель любви. Красивая внешность – не показатель красивого человека. Учитесь ценить душу, верить поступкам, смотреть на дела.

16. От великой Фаины Раневской

Берегите своих любимых женщин. Ведь пока она ругает, переживает и психует - она любит, но как только начнет улыбаться и равнодушно относиться - ты её потерял.

17. Про детей…

Решиться обзавестись ребёнком - дело нешуточное. Это значит решиться на то, чтобы отныне и навсегда твоё сердце разгуливало вне твоего тела.

18. Очень мудрая португальская пословица

Шалаш, где смеются, дороже дворца, где плачут.

19. Выслушать…

В жизни нужно иметь один важный принцип - всегда брать трубку, если тебе звонит близкий человек. Даже если ты на него обижен, даже если не хочешь разговаривать, и уже тем более если ты просто хочешь проучить. Нужно обязательно взять трубку и выслушать то, что он хочет тебе сказать. Возможно, это будет что-то по-настоящему важное. А жизнь слишком непредсказуема, и кто знает, услышишь ли ты еще когда-то этого человека вновь.

20. Всё можно пережить

Всё можно пережить в этой жизни, пока есть для чего жить, кого любить, о ком заботиться и кому верить.

21. Ошибки… у кого их не бывает?

Твои ошибки, твоя сила. На кривых корнях, деревья стоят крепче.

22. Простая молитва

Мой Ангел-Хранитель… я снова устала… Дай руку, прошу, и крылом обними… Держи меня крепче, чтоб я не упала… А если споткнусь, Ты меня подними…

23. От великолепной Мерлин Монро)

Характер у меня конечно не ангельский, не всякий выдержит. Ну так извините… и я не для всякого!

24. Общайтесь…

Глупо не общаться с человеком, который тебе дорог. И неважно, что случилось. Его в любой момент может не стать. Представляешь? Навсегда. И ничего не вернёшь.

25. Жизненное измерение

Вы не можете ничего поделать с длиной своей жизни, но можете многое с её шириной и глубиной.