Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.
Что значит "сократить дробь "?
Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые - сокращаются, а те, которые несократимые - не сокращаются.
- Сократить дробь - это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.
Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием "сократите дробь " это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.
Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)
Итак, здесь всего два правила.
- Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
- Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.
Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.
Сокращение смешанных дробей
Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.
Сократить смешанные дроби можно двумя способами.
Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.
Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.
Примеры можно увидеть на фото выше.
Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.
В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :
- сокращение дробей
- умножение дробей
- деление дробей
Начнем с сокращения алгебраических дробей .
Казалось бы, алгоритм очевиден.
Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно
1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Сократить одинаковые множители.
Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби "сокращают" на и получают в результате , что, разумеется, неверно.
Рассмотрим примеры:
1.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов
2. Разделим числитель и знаменатель на
2.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.
2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.
3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:
Умножение алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Важно!
Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.
Рассмотрим примеры:
3. Упростите выражение:
1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:
2. Разложим каждую скобку на множители:
Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком:
и в результате деления первого выражения на второе получим -1.
Итак, 
Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:
То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".
Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.
Рассмотрим пример:
4. Упростите выражение:
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Основное свойство дроби
Представьте себе такую ситуацию.
За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) яблока.
А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\)
При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по \(\mathbf{\frac{10}{6}}\)
Но это одно и то же.
\(\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}\)
Эти дроби эквивалентны.
Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.
В математике это формулируется так:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной .
Это свойство иногда называют «основным свойством дроби ».
$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$
Например, Путь от города до деревни- 14 км.
Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли \(\mathbf{\frac{6}{14}}\) пути.
Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- \(\mathbf{6\cdot40 = 240}\) столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- \(\mathbf{\frac{240}{560}}\)
\(\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}\)
Пример 1
Отметьте точку с координатами (5; 7 ) на координатной плоскости XО Y . Она будет соответствовать дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)
Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?
Решение
Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X . Проведем прямую из начала координат через нашу точку.
На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби \(\mathbf{\frac{10}{14}}\)
Они являются эквивалентными: \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}\)
В этой статье мы подробно разберем, как проводится сокращение дробей . Сначала обговорим, что называют сокращением дроби. После этого поговорим о приведении сократимой дроби к несократимому виду. Дальше получим правило сокращения дробей и, наконец, рассмотрим примеры применения этого правила.
Навигация по странице.
Что значит сократить дробь?
Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби . По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя.
Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы . Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби , полученная дробь равна исходной.
Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24 , разделив ее числитель и знаменатель на 2 . Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2 . Так как 8:2=4 и 24:2=12 , то в результате такого сокращения получается дробь 4/12 , которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби). В итоге имеем .
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
Обычно конечной целью сокращения дроби является получение несократимой дроби, которая равна исходной сократимой дроби. Эта цель может быть достигнута, если провести сокращение исходной сократимой дроби на ее числителя и знаменателя. В результате такого сокращения всегда получается несократимая дробь. Действительно, дробь 
является несократимой, так как из известно, что 
и 
- . Здесь же скажем, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби является наибольшим числом, на которое можно сократить эту дробь.
Итак, приведение обыкновенной дроби к несократимому виду заключается в делении числителя и знаменателя исходной сократимой дроби на их НОД.
Разберем пример, для чего вернемся к дроби 8/24 и сократим ее на наибольший общий делитель чисел 8 и 24 , который равен 8 . Так как 8:8=1 и 24:8=3 , то мы приходим к несократимой дроби 1/3 . Итак, .
Заметим, что под фразой «сократите дробь» часто подразумевают приведение исходной дроби именно к несократимому виду. Другими словами, сокращением дроби очень часто называют деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (а не на любой их общий делитель).
Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей
Осталось лишь разобрать правило сокращения дробей, которое и объясняет, как сократить данную дробь.
Правило сокращения дробей состоит из двух шагов:
- во-первых, находится НОД числителя и знаменателя дроби;
- во-вторых, проводится деление числителя и знаменателя дроби на их НОД, что дает несократимую дробь, равную исходной.
Разберем пример сокращения дроби по озвученному правилу.
Пример.
Сократите дробь 182/195 .
Решение.
Выполним оба шага, предписанные правилом сокращения дроби.
Сначала находим НОД(182, 195) . Наиболее удобно воспользоваться алгоритмом Евклида (смотрите ): 195=182·1+13 , 182=13·14 , то есть, НОД(182, 195)=13 .
Теперь делим числитель и знаменатель дроби 182/195 на 13 , при этом получаем несократимую дробь 14/15 , которая равна исходной дроби. На этом сокращение дроби закончено.
Кратко решение можно записать так: .
Ответ:
На этом с сокращением дробей можно и закончить. Но для полноты картины рассмотрим еще два способа сокращения дробей, которые обычно применяются в легких случаях.
Иногда числитель и знаменатель сокращаемой дроби несложно . Сократить дробь в этом случае очень просто: нужно лишь убрать все общие множители из числителя и знаменателя.
Стоит отметить, что этот способ напрямую следует из правила сокращения дробей, так как произведение всех общих простых множителей числителя и знаменателя равно их наибольшему общему делителю.
Разберем решение примера.
Пример.
Сократите дробь 360/2 940 .
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 360=2·2·2·3·3·5
и 2 940=2·2·3·5·7·7
. Таким образом, 
.
Теперь избавляемся от общих множителей в числителе и знаменателе, для удобства, их просто зачеркиваем: 
.
Наконец, перемножаем оставшиеся множители: , и сокращение дроби закончено.
Вот краткая запись решения: 
.
Ответ:
Рассмотрим еще один способ сокращения дроби, который состоит в последовательном сокращении. Здесь на каждом шаге проводится сокращение дроби на некоторый общий делитель числителя и знаменателя, который либо очевиден, либо легко определяется с помощью
Загрузка...