Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 - взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Нахождение путём подбора

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них - это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 · 1 = 24 - делится на 3, но не делится на 18.

24 · 2 = 48 - делится на 3, но не делится на 18.

24 · 3 = 72 - делится на 3 и на 18.

Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа - 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Общие кратные

Проще говоря, любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел, является общим кратным данных целых чисел.

Можно находить общее кратное двух и большего количества целых чисел.

Пример 1

Вычислить общее кратное двух чисел: $2$ и $5$.

Решение .

По определению общим кратным чисел $2$ и $5$ является число $10$, т.к. оно кратно числу $2$ и числу $5$:

Общими кратными чисел $2$ и $5$ также будут числа $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.д., т.к. все они делятся на числа $2$ и $5$.

Замечание 1

Нуль является общим кратным любого количества ненулевых целых чисел.

Согласно свойствам делимости, если некоторое число является общим кратным нескольких чисел, то и противоположное по знаку число также будет общим кратным заданных чисел. Это видно из рассмотренного примера.

Для заданных целых чисел всегда можно найти их общее кратное.

Пример 2

Вычислить общее кратное чисел $111$ и $55$.

Решение .

Перемножим заданные числа: $111\div 55=6105$. Несложно убедится, что число $6105$ делится на число $111$ и на число $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

Таким образом, число $6105$ – общее кратное чисел $111$ и $55$.

Ответ : общее кратное чисел $111$ и $55$ равно $6105$.

Но, как мы уже видели из предыдущего примера, это общее кратное не одно. Другими общими кратными будут числа $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.д. Таким образом, мы пришли к следующему выводу:

Замечание 2

Любой набор целых чисел имеет бесконечное множество общих кратных.

На практике ограничиваются нахождением общих кратных только целых положительных (натуральных) чисел, т.к. множества кратных данного числа и ему противоположного совпадают.

Определение наименьшего общего кратного

Наиболее часто из всех кратных заданных чисел используют наименьшее общее кратное (НОК).

Определение 2

Наименьшее положительное общее кратное заданных целых чисел является наименьшим общим кратным этих чисел.

Пример 3

Вычислить НОК чисел $4$ и $7$.

Решение .

Т.к. у данных чисел нет общих делителей, то $НОК(4,7)=28$.

Ответ : $НОК (4,7)=28$.

Нахождение НОК через НОД

Т.к. существует связь между НОК и НОД, с ее помощью можно вычислить НОК двух целых положительных чисел :

Замечание 3

Пример 4

Вычислить НОК чисел $232$ и $84$.

Решение .

Воспользуемся формулой для нахождения НОК через НОД:

$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$

Найдем НОД чисел $232$ и $84$ с помощью алгоритма Эвклида:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Т.е. $НОД (232, 84)=4$.

Найдем $НОК (232, 84)$:

$НОК (232,84)=\frac{232\cdot 84}{4}=58\cdot 84=4872$

Ответ : $НОК (232,84)=4872$.

Пример 5

Вычислить $НОК (23, 46)$.

Решение .

Т.к. $46$ делится нацело на $23$, то $НОД (23, 46)=23$. Найдем НОК:

$НОК (23,46)=\frac{23\cdot 46}{23}=46$

Ответ : $НОК (23,46)=46$.

Таким образом, можно сформулировать правило :

Замечание 4

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК - это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное - число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК - это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК - обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК - это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 - верно;

6300 / 1260 = 5 - верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки - деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта - не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве - трем, пяти и так далее. Чем больше чисел - тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, - для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 - верно;

2) 3000 / 600 = 5 - верно;

3) 3000 / 1500 = 2 - верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Как найти наименьшее общее кратное?

Нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, у которых находим наименьшее общее кратное, а потом перемножить друг на друга множители, которые совпали у первого и второго числа. Результатом произведения будет искомое кратное.

Например у нас есть числа 3 и 5 и нам надо найти НОК(наименьшее общее кратное). Нам надо умножать и тройку и пятрку на все числа начиная с 1 2 3 ... и т д пока мы не увидим одинаковое число и там и там.

Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15

Метод разложения на простые множители - самый классический для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Наглядно и просто продемонстрирован этот метод в следующем видеоролике:

Складывать, умножать, делить, приводить к общему знаменателю и другие арифметические действия очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.

Итак найти общее кратное для двух чисел, которое будет являться самым маленьким числом на которое делятся два числа. Хочу заметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если можешь считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и потом дроби щелкаются как орешки.

Для начала усвоим, что можно умножить два числа друг на друга, а потом эту цифру уменьшать и делить поочередно на данные два числа, так мы найдем наименьшее кратное.

Например, два числа 15 и 6. Умножаем и получаем 90. Это явно больше число. Причем 15 делится на 3 и 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем 30 разделить 15 равно 2. И 30 делим 6 равно 5. Так как 2 это предел, то получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

С цифрами побольше будет немного трудней. но если знать, какие цифры дают нулевой остаток при делении или умножении, то трудностей, в принципе, больших нет.

• Как найти НОК

  Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере.

Необходимо найти НОК сразу трх чисел: 16, 20 и 28.

• Представляем каждое число как произведение его простых множителей:
• Записываем степени всех простых множителей:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Выбираем все простые делители (множители) с наибольшими степенями, перемножаем их и находим НОК:

НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким образом, в итоге расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится на каждое из трх чисел без остатка.

Наименьшее общее кратное число - это такая цифра, которая разделится на несколько предложенных чисел без остатка. Для того, чтобы такую цифру высчитать, надо взять каждое число и разложить его на простые множители. Те цифры, которые совпадают, убираем. Оставляет всех по одной, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое - наименьшее общее кратное.

НОК, или наименьшее общее кратное , - это наименьшее натуральное число двух и более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

• Первым делом нужно разложить данные числа на простые множители.

Для 30 - это 2 х 3 х 5.

Для 42 - это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.

• Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5 .
• Теперь нужно домножить их на недостающий множитель, который имеем при разложении 42,а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
• Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Чтобы найти наименьшее общее кратное , нужно выполнить последовательно несколько простых действий. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

1. Разлагаем оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Сокращаем одинаковые множители у одного из чисел. В нашем случае совпадают 2*2, сократим их для числа 12, тогда у 12 останется один множитель: 3.
3. Находим произведение всех оставшихся множителей: 2*2*2*3=24

Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8 и на 12, причем это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Вот мы и нашли наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить на примере цифр 6 и 8. Наименьшее общее кратное - это число, которое можно разделить на эти числа(в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.