Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.
Общая формула
Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.
Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Алгоритм выполнения задания
Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:
1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.
2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).
3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.
4) Подставить значение х в выражение (1).
5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.
Примеры
Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:
необходимо разложить выражение:
Прибегнем к нашему алгоритму:
1) х 2 -17х+32=0
2) подобные слагаемые сведены
3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:
(х-2,155) * (х-14,845)
5) Тогда ответ будет таким:
х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)
Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:
14,845 . 2,155=32
Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.
Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337) 1/2
В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.
D=-20
Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .
Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.
Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.
Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0
D=-448
Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:
23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).
Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.
Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.
x 1 =15
x 2 =17
Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).
Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.
1. Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
x 4
+ x 3 - 6
x 2
.
Решение
Выносим x 2
за скобки:
.
2
+ x - 6 = 0
:
.
Корни уравнения:
, .
.
Ответ
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6
x 2 + 9
x
.
Решение
Выносим x
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6
x + 9 = 0
:
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Ответ
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2
x 4 + 10
x 3
.
Решение
Выносим x 3
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2
x + 10 = 0
.
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 +
x 2 - 20
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
.
;
.
Ответ
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 +
x 4 + 1
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
:
;
;
.
Ответ
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Решение
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1
.
Делим многочлен на x - (-1)
= x + 1
.
В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504
;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120
;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60
;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24
;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0
;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0
;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0
;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60
.
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1
,
x 2 = 2
,
x 3 = 3
.
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Ответ
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =
6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 =
0
;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12
;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2
= -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.
Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим
(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).
Доказана следующая
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид
Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:
Решение, а) Находим уравнение имеет вид
Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.
Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде
и получим
Из формул Виета легко получить формулу
выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.
В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде
Теперь имеем
что и требовалось получить.
Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).
Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:
Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим
и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).
Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения
суть то согласно равенству (52.2) находим
(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax 2 + bx + c , где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Коэффициент а называют старшим коэффициентом , c – свободным членом квадратного трехчлена.
Примеры квадратных трехчленов:
2 x 2 + 5 x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)
x 2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)
9x 2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)
Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:
5 x 2 + 3 x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).
6x 2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)
2x 2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)
Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена .
Чтобы найти корни квадратного трехчлена
ax 2 +
bx +
c
, надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение
ax 2 +
bx +
c =
0 (см.раздел "Квадратное уравнение").
Разложение квадратного трехчлена на множители
Пример:
Разложим на множители трехчлен 2x 2 + 7x – 4.
Мы видим: коэффициент а = 2.
Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение
2x 2 + 7x – 4 = 0.
Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:
x 1 = 1/2, x 2 = –4.
Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а , и получим:
2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:
2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Задача решена: трехчлен разложен на множители.
Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.
ВНИМАНИЕ!
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x 1 и x 2 .
К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x 1 = 3, x 2 = 3.
Разложение квадратного трехчлена на множители может пригодится при решении неравенств из задачи С3 или задачи с параметром С5. Так же многие текстовые задачи B13 решатся значительно быстрее, если вы владеете теоремой Виета.
Эту теорему, конечно, можно рассматривать с позиций 8-го класса, в котором она впервые проходится. Но наша задача - хорошо подготовиться к ЕГЭ и научиться решать задания экзамена максимально эффективно. Поэтому в этом уроке рассмотрен подход немного отличный от школьного.
Формулу корней уравнения по теореме Виета знают (или хотя бы видели) многие:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 · x_2 = \frac{c}{a},$$
где `a, b` и `c` - коэффициенты квадратного трехчлена `ax^2+bx+c`.
Чтобы научиться легко пользоваться теоремой, давайте поймем, откуда она берется (так будет реально легче запомнить).
Пусть перед нами есть уравнение `ax^2+ bx+ с = 0`. Для дальнейшего удобства разделим его на `a` получим `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0`. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением.
Важная мысль урока: любой квадратный многочлен, у которого есть корни, можно разложить на скобки. Предположим, что наш можно представить в виде `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + k)(x+l)`, где `k` и `l` - некоторые константы.
Посмотрим, как раскроются скобки:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Таким образом, `k+l = \frac{b}{a}, kl = \frac{c}{a}`.
Это немного отличается от классической трактовки теоремы Виета - в ней мы ищем корни уравнения. Я же предлагаю искать слагаемые для разложения на скобки - так не нужно помнить про минус из формулы (имеется в виду `x_1+x_2 = -\frac{b}{a}`). Достаточно подобрать два таких числа, сумма которых равна среднему коэффициенту, а произведение - свободному члену.
Если нам нужно решение именно уравнения, то оно очевидно: корни `x=-k`или `x=-l` (так как в этих случаях одна из скобок занулится, значит, будет равно нулю и все выражение).
На примере покажу алгоритм, как раскладывать квадратный многочлен на скобки.
Пример первый. Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители
Путь у нас есть квадртаный трехчлен `x^2+5x+4`.
Он приведенный (коэффициент у `x^2` равен единице). Корни у него есть. (Для верности можно прикинуть дискриминант и убедиться, что он больше нуля.)
Дальнейшие шаги (их нужно выучить, выполнив все тренировочные задания):
- Выполнить следующую запись: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Вместо точек оставьте свободное место, туда будем дописывать подходящие числа и знаки.
- Рассмотреть все возможные варианты, как можно разложить число `4` на произведение двух чисел. Получим пары "кандидатов" на корни уравнения: `2, 2` и `1, 4`.
- Прикинуть, из какой пары можно получить средний коэффициент. Очевидно, что это `1, 4`.
- Записать $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Следующий этап - расставить знаки перед вставленными числами.
Как понять и навсегда запомнить, какие знаки должны быть перед числами в скобках? Попробуйте раскрыть их (скобки). Коэффициент перед `x` в первой степени будет `(± 4 ± 1)` (пока что знаков мы не знаем - нужно выбрать), и он должен равняться `5`. Очевидно, что здесь будут два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Выполните эту операцию несколько раз (привет, тренировочные задания!) и больше проблем с этим не будет никогда.
Если нужно решить уравнение `x^2+5x+4`, то теперь его решение не составит труда. Его корни: `-4, -1`.
Пример второй. Разложение на множители квадратного трехчлена с коэффициентами различных знаков
Пусть нам нужно решить уравнение `x^2-x-2=0`. Навскидку дискриминант положительный.
Идем по алгоритму.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Разложение двойки на целые множители есть только одно: `2 · 1`.
- Пропускаем пункт - выбирать не из чего.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Произведение наших чисел отрицательное (`-2` - свободный член), значит, одно из них будет отрицательное, а другое - положительное.
Поскольку их сумма равна `-1` (коэффициент при `x`), то отрицательным будет `2` (интуитивное объяснение - двойка большее из двух чисел, оно сильнее "перетянет" в отрицательную сторону). Получим $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Третий пример. Разложение квадратного трехчлена на множители
Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Разложение 84 на целые множители: `4· 21, 6· 14, 12· 7, 2·42`.
- Поскольку нам нужно, чтобы разница (или сумма) чисел равнялась 5, то нам подойдет пара `7, 12`.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Надеюсь, разложение этого квадратного трехчлена на скобки понятно.
Если нужно решение уравнения, то вот оно: `12, -7`.
Задания для тренировки
Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые легко решаются с помощью теоремы Виета. (Примеры взяты из журнала "Математика", 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.
Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!
Загрузка...